Nombres parfaits
Définition:
On appelle nombre parfait un nombre égal à la somme de ses diviseurs (lui non
compris, évidemment).
Dès la Grèce ancienne, 6, 28, 496 et 8128 étaient connus comme nombres
parfaits et la recherche de ce type de nombres a fait progresser l'arithmétique.
Euclide (IIIème siècle avant JC) a démontré
que 2p-1 (2p-1) est parfait si (2p-1) est premier
et 2.000 ans plus tard, Leonhard Euler (XVIIIème siècle) a démontré
que tout nombre parfait pair est de cette forme.
Or pour que 2p-1 soit premier, p doit aussi être premier et la recherche des
nombres parfaits se ramène à la recherche de nombres de Mersenne premiers. C'est
ainsi qu'il est facile de trouver les nombres parfaits suivants: 33550336 et 8589869056.
On ne sait pas s’il existe des nombres parfaits impairs.
Beaucoup de cultures associent des significations magiques ou religieuses aux nombres. Les nombres
parfaits en sont un exemple. L'érudit Augustin explique ainsi que Dieu aurait pu créer
le monde en un instant mais a plutôt choisi de le faire en un nombre parfait de jours
(à savoir 6). De même des commentateurs juifs affirment que la perfection du monde
est montrée dans la période de la lune qui est de 28 jours (encore un nombre parfait).
entier N, i
écrire "Introduisez le nombre à tester:"
lire N
S ß 1
pour i de 2 à [ÖN] faire
si N mod i=0 alors S ß S+i+N\i
fsi
fpour
si S=N alors écrire N, "est un nombre parfait!"
sinon écrire N, "n'est pas un nombre parfait!"
fsi
Nombres amicaux
Définition:
Deux nombres entiers N et M sont dits amicaux si la somme des diviseurs de N (N non compris) vaut M
et la somme des diviseurs de M (M non compris) vaut N.
Ex : 220 et 284, 1.184 et 1.210, 17.296 et 18.416, 9.363.584 et 9.437.056.
Les nombres amicaux ont une histoire liée depuis longtemps à la magie et à l'astrologie. Par exemple, certains commentateurs juifs de la Genèse pensaient que Jacob avait donné 220 moutons (200 femelles et 20 males) à son frère quand il commença à craindre que son frère le tue (Genèsé 32:14). Le philosophe Iamblichus de Chalcis (ca. 250-330 A.C.) écrit que les pythagoriciens connaissent ces nombres qu'ils appellent amicaux et leur associent certaines qualités sociales (comme 220 et 284) et Pythagore aurait parlé d'un ami qui 'était un autre lui' comme le sont 220 et 284.
Il n'existe pas de formule ou méthode connues pour déterminer les nombres amicaux mais au fil des ans, certains types spéciaux ont été découverts. Thabit ibn Kurrah (ca.850 A.C.) nota que:
si n>1 et si p = 3.2n-1-1, q = 3.2n-1 et r = 9.22n-1-1 sont premiers,
alors 2npq et 2nr sont des nombres amicaux.
Il fallut cependant des siècles pour que cette formule produise les 2ème
et 3ème paires de nombres amicaux! Fermat annonça la paire 17.296 - 18.416
(n=4) dans une lettre à Mersenne en 1636. Descartes écrivit à Mersenne en 1638
pour lui signaler la paire 9.363.584 - 9.437.056 (n=7). Euler ajouta quant à lui une liste
de 64 nouveaux nombres amicaux en faisant ainsi 2 erreurs qui furent découvertes en 1909 et
1914. En 1866 un jeune garçon de 16 ans, Nicolo Paganini, découvrit la paire
1.184 - 1.210 qui avaient été ignorée jusque là.
Des recherches par ordinateur ont permis de trouver toutes les paires de nombres amicaux de moins
de 10 chiffres ainsi quelques autres encore plus grands pour en arriver à un total de 7.500
paires. On n'a pas pu montrer ni qu'il existe un nombre infini de paires ni qu'il existe une paire
de nombres premiers entre eux. Si une telle paire existe, chacun des nombres doit comporter plus
de 15 chiffres et leur produit doit doit être divisible par au moins 22 nombres premiers.
entier N, i
écrire "Introduisez les nombres à tester:"
écrire "N="
lire N
écrire "M="
lire M
SN ß 1
pour i de 2 à [ÖN] faire
si N mod i=0 alors SN ß SN+i+N\i
fsi
fpour
SM ß 1
pour i de 2 à [ÖM] faire
si M mod i=0 alors SM ß SM+i+M\i
fsi
fpour
si (SN=M) et (SM=N) alors écrire N, " et ", M," sont des nombres amicaux!"
sinon écrire N, " et ", M," ne sont pas des nombres amicaux!"
fsi