Chapitre 5 : Les vecteurs

 

I] Définitions

 

Définition : Un vecteur est défini par trois composantes :

Remarque : De ce fait, un vecteur peut être déplacé n'importe où dans le plan, à condition que ses trois composantes, direction, sens et longueur ne changent pas.

 

Propriétés :

 

II] Opérations sur les vecteurs

 

Somme: Soit et deux vecteurs, alors qui est la diagonale issue du paralleloogramme formé par les vecteurs et (cf. dessin).

Remarque : Pour (les deux vecteurs issus d'un même point), on utilise la même méthode.

 

Relation de Chasles : Pour tous points A, B, C, on a : . En pratique, (à ne pas mettre sur une copie ) le point à droite du 1er vecteur doit être le même que le point à gauche du 2nd vecteur.

 

Vecteurs opposés : Soit un vecteur, on note le vecteur opposé à . En pratique, est de sens contraire à

Remarques :

 

III] Colinéarité, Multiplication par un réel.

 

Définition : Soit un vecteur et k un réel. Le vecteur résultant de la multiplication de k par est :

 

Propriétés :

Colinéarité : Deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement si :

 

Propriétés :

 

IV] Autres Propriétés utiles

 

Milieu d'un segment : Si I milieu de [AB], alors

 

Centre de Gravité d'un triangle : Soit G, le centre de gravité d'un triangle ABC, alors :

 

Conseil : N'oubliez jamais CHASLES, il est à utiliser au moins une fois (sinon plus) dans tous les problèmes conséquents sur les vecteurs (et pas seulement en seconde), en effet la relation est utile pour insérer un point dans un vecteur ou simplifier un expression.