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Éléments de cristallographie - 3

3 --- Pour aller plus loin...


3.2 - Groupes d'espace

Le groupe d'espace est désigné soit par son numéro d'ordre, de 1 à 230 : Mais les cristallographes utilisent la plupart du temps les symboles de Hermann-Mauguin4 (1935), qui décrivent les symétries de ce groupe ;


Fig. 3-3 Invariance du réseau par une symétrie miroir (m) et une rotation d'1/6 tour (6)

L'ordre des symboles indique l'axe ou bien le plan de symétrie. Pour caractériser un cristal, on n'indiquera que le nombre minimum de symétries nécessaire pour caractériser la structure (si par exemple il y a une invariance par rotation d'1/4 de tour selon un axe, on n'indiquera pas l'invariance par rotation d'1/2 tour qui en découle). Si l'on ne considère que les symétries ponctuelles (rotations, symétries planes, inversion et translation simple, appelées ainsi car les axes de symétrie se coupent au centre de la maille), on obtient 32 groupes de symétrie (ceci ne prend pas en compte les translations, donc la première lettre n'est pas mentionnée) :

Tab. 3-2 Les 32 groupes de symétries ponctuelles

Réseau cristallin Groupes de symétries ponctuelles Structures cristallographiques
Triclinique1, -1P-1
Monoclinique2, m, 2/mP 2/m, C 2/m
Orthorhombique2 2 2, m m 2, m m m P m m m, C m m m, F m m m, I m m m
Tétragonal (quadratique)4, -4, 4/m, 4 2 2, 4 m m, -4 2 m, 4/m m m P4/m, I4/m, P4/mmm, I4/mmm
Trigonal (rhomboédrique)3, -3, 3 2, 3 m, -3 m P -3, R -3, P -3 m 1, P -3 1 m, R -3 m
Hexagonal6, -6, 6/m, 6 2 2, 6 m m, -6 2 m, 6/m m m P 6/m, P 6/m m m
Cubique2 3, m -3, 4 3 2, -4 3 m, m 3 m P m -3, I m -3, F -3 m, P m -3 m, F m -3 m, I m -3 m

Dans le cas de cristaux contenant plusieurs atomes, les symboles ci-dessus sont modifiés ou complétés afin de représenter les symétries supplémentaires. Par exemple :

Vous pouvez voir également la page sur les symétries cristallines de l'Université du Maine (Le Mans, France), avec des animations interactives en Java.

Symboles de Schönflies5 (1891)

La notation de Schönflies est largement utilisée dans le domaine de la description de molécules (c'est à dire la description d'une molécule, et non la description d'un assemblage de molécules), ainsi que par les spectroscopistes ; elle est donc mentionnée ici afin de faciliter la lecture de certains documents. Elle est plus compacte, mais moins complète que la notation d'Hermann-Mauguin (notamment, elle n'indique que les symétries ponctuelles et pas les translations). Elle se compose habituellement d'une lettre, d'un nombre et d'une lettre en indice :

La présence d'un nombre m en exposant indique que l'opération de symétrie est appliquée m fois. Le tableau suivant donne la correspondance entre les symboles de Schönflies (à gauche) et les symboles de Hermann-Mauguin (à droite).

Tab. 3-3 Correspondance entre la notation de Schönflies et celle d'Hermann-Mauguin

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Hexagonal Tetragonal Trigonal Orthorhombique Monoclinique Triclinique
C6 | 6C4 | 4C3 | 3
 
C2 | 2C1 | 1
C6v | 6 m mC4v | 4 m m C3v | 3 mC2v | 2 m m
 
 
C6h | 6/mC4h - 4/m
 
 
C2h | 2/m
 
C3h | -6
 
 
 
C1h | m (-2)
 
 
S4 | -4S6 (C3i) | -3
 
 
S2 (Ci) | -1
D6 | 6 2 2D4 | 4 2 2 D3 | 3 2D2 | 2 2 2
 
 
D6h | 6/m m mD4h | 4/m m m
 
D2h | 2/m m m (m m m)
 
 
D3h | -6 2 m
 
 
 
 
 
 
D2d | -4 2 mD3d | -3 m
 
 
 

Pour les symétries cubiques, T correspond à 2 3, Th à m 3, O à 4 3 2, Td à 4 -3 m, Oh à m 3 m et I à 5 3 2 (donc impossible pour les cristaux, mais possible pour une molécule).

Notes

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