Développement en harmoniques sphériques

Table des matières

2 -- Harmoniques sphériques des fonctions de deux angles
- 2.1 - Décomposition en harmoniques
- 2.2 - Fonctions associées de LEGENDRE

2 -- Harmoniques sphériques des fonctions de deux angles

2.1 - Décomposition en harmoniques

Soit une fonction ƒ(θ, φ) -- il s'agit là de coordonnées polaires habituelles.

Coordonnées polaires 3d
Fig. 2.1 - Repérage en coordonnées polaires dans l'espace

Cette fonction peut se décomposer en une série de fonctions élémentaires Y_l^m(θ, φ), l et m étant des paramètres entiers qui définissent la fonction élémentaire :

ƒ(θ, φ) = ∑_{l = 0}^∞ ∑_{m = -l}^+l C_l^m.Y_l^m(θ, φ)

C_l^m étant un coefficient. Les fonctions Y_l^m(θ, φ) présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que l croît (sauf lorsque l =0, puisque Y₀⁰ est une fonction constante et décrit donc une sphère). Lorsque θ et φ décrivent [0;2π[, Y_l^m(θ, φ) s'annule selon l cercles :

m cercles suivant un méridien, une iso-longitude (intersection entre un plan contenant z et la sphère) ;
l-m cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à xy et la sphère).

l est appelé le «degré», m est appelé l'«ordre azimutal». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

Fig. 2.2 - Cercles d'annulations d'une harmonique sphérique

Nous représentons ci-dessous la fonction r₀ + r₁.Y₃²(θ, φ), avec 0 < r1 < r0, selon quatre plans de coupe (deux parallèles et deux méridien), les cercles en pointillé figurant les traces de la sphère de rayon r0.

Fig. 2.3 - Traces d'une harmonique sphérique

On représente également souvent |Y_l^m(θ, φ)|² ; par exemple, ci-dessous, |Y₀⁰(θ, φ)|², |Y₁⁰(θ, φ)|² et |Y₂⁰(θ, φ)|² :

Représentation de |Y00|^2, |Y10|^2 et |Y20|^2
Fig. 2.4 - Représentation de |Y_l^m(θ, φ)|²

Une fonction ƒ(θ, φ) peut donc se décomposer en une somme de fonctions Y_l^m(θ, φ).

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2.2 - Fonctions associées de LEGENDRE

Les harmoniques sphériques utilisées au § 2.1 sont en fait les parties réelles des harmoniques sphériques complexes Y_l^m(θ, φ). La fonction Y_l^m(θ, φ) peut s'écrire comme le produit d'un polynôme P_l^m en cosinus de θ, appelé «fonction associée de LEGENDRE», et d'une exponentielle complexe en φ :

expression de Ylm

avec

expression de Plm

par exemple :

P₀⁰(cos θ) = 1 (Y₀⁰ est isotrope) ;
P₁⁰(cos θ) = cos θ ;
P₁¹(cos θ) = -sin θ ;
P₃¹(cos θ) = 3/2.sin θ.(-5.cos² θ + 1) ;
...

Il faut bien faire attention, dans les différentes publications, à bien distinguer la représentation de la partie réelle de l'harmonique de celle de l'harmonique sphérique complexe elle-même la norme de cette dernière est toujours à symétrie de révolution. À titre d'exemple, voici ci-dessous la représentation de |Re(Y₃²(θ,φ))|² et celle de |Y₃²(θ,φ)|².

Représentation de la partie réelle
et de la norme de Y32
Fig. 2.5 - Représentation de la norme de la partie réelle et de la norme elle-même de Y₃²(θ, φ)

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