• Les mouvements des planètes du système solaire ont semblé pendant longtemps remarquables par leur stabilité et leur régularité.

• Mais cette stabilité n’a jamais été prouvée rigoureusement.

• Le modèle des orbites des planètes donné par Kepler en 1609 est rendu caduque par les lois de la gravitation universelle de Newton.

• Et ce sont surtout les travaux de Henri Poincaré portant sur l’évolution des trajectoires des planètes qui ont modifié la vision de la mécanique céleste.

• Aujourd’hui on pense qu’un grand nombre de corps du système solaire ont un mouvement chaotique :

• Les comètes

• Les astéroïdes

• Les planètes

 

• Les prédictions possibles sur l’avenir du système solaire sont donc limitées.

• En première partie, nous allons nous intéresser à un problème majeur dans l’étude du système solaire : le problème à N corps.

• Puis nous examinerons les différentes méthodes d’études utilisées par les astrophysiciens pour rendre compte de l’instabilité du système solaire.

• Enfin, nous verrons les limites des prévisions actuelles.

Le problème à N corps :

Définition :

• Le système solaire peut être considéré comme un système dynamique composé de 10 corps en négligeant les satellites et les astéroïdes.

• Le problème des N corps est l’étude du mouvement de N masses ponctuelles qui s’attirent conformément à la loi de Newton.

• On sait résoudre le cas de deux corps ( soleil + une planète ). On est conduit au mouvement Képlérien : la trajectoire de la planète est une ellipse dont le soleil occupe l’un des foyers.

• Si la loi de Newton permet de déterminer les orbites des planètes théoriquement, il est cependant plus compliqué, en pratique, de déterminer celles de deux planètes au moins autour du soleil.

Non intégrabilité :

• Un système est dit non intégrable lorsque l’on ne trouve pas de solutions
  analytiques exactes.

• Le problème est de tenir compte des influences des planètes les unes sur les autres.

• Poincaré étudie les équations différentielles de ce système dynamique qui ont longtemps résistées aux efforts des scientifiques.

Méthodes d’étude :

Par approximations successives :

• Puisqu’il n’est pas possible de résoudre les équations qui régissent le système solaire, les mécaniciens célestes procèdent par approximations successives.

• C’est ce qu’on fait Laplace et Lagrange. Ils mirent au point des méthodes permettant de trouver des solutions approchées qui consistent à rechercher la solution sous forme de séries.

• Ils se ramènent alors à un système intégrable en négligeant une partie des équations qui possède en facteur une puissance de plus en plus élevée d’un petit paramètre e .

• Mais les solutions obtenues en tronquant ces séries ne peuvent donner une bonne approximation du mouvement des planètes que pour un temps fini, petit à l’échelle du système solaire, et ne permettent pas de conclure sur la stabilité du système solaire.

• De plus, Poincaré à montré que ces séries sont généralement divergentes.

L’étude qualitative de Poincaré :

• Vers 1890, Poincaré envisage le problème d’un point de vue qualitatif.

• La méthode d’étude consiste à étudier la succession des points qui sont à l’intersection de la trajectoire avec un plan perpendiculaire à celle-ci. Cette section de la trajectoire par un plan normal est appelée une section de Poincaré.

• Et c’est l’étude de cette succession de points qui permet de prévoir l’avenir de la trajectoire.

• Il commence par étudier les flots du premier ordre. Les courbes solutions ou courbes intégrales permettent de définir des points singuliers.

• Les nœuds : par lesquels passent une infinité de courbes intégrales.

• Les cols : par lesquels passent deux courbes intégrales.

• Les centres : qui sont entourés de courbes intégrales fermées qui s’emboîtent mutuellement.

• Les foyers : autour desquels les courbes intégrales s’approchent sans cesse, à la manière d’une spirale.

• Mais cette étude ne suffit pas pour résoudre les problèmes non intégrables.

• Poincaré a alors l’idée de partir de solutions périodiques et il étudie ce qui se passe au voisinage d’une trajectoire comme pour les points singuliers.

• Si une trajectoire est régulière, son intersection avec le plan de section est contenue dans une courbe régulière.

• Si, au contraire, la trajectoire est chaotique, les points successifs remplieront toute une région du plan de manière aléatoire.

Le problème de la stabilité à long terme :

La dépendance sensible aux conditions initiales :

• Les résultats actuels obtenus ne permettent pas de prévoir les orbitales planétaires au-delà de 100 millions d’années.

• En effet, la distance de deux orbites initialement proches est multipliée par 3 tous les 5 millions d’années.

• Ainsi une erreur relative de 10^-10 sur les conditions initiales implique une erreur de seulement 10^-9 au bout de 10 millions d’années (temps caractéristique du système solaire) mais atteint 100% au bout de 100 millions d’années.

• On ne peut donc pas prévoir la position d’une planète sur son orbite à longue échéance ; ce qui est la marque du chaos.

La stabilité de Poisson :

• Malgré l’impossibilité de résoudre rigoureusement et complètement le problème de la stabilité du système solaire, Poincaré a cependant réussi à démontrer des résultats partiels.

• En effet il a en effet prouvé que " le système repassera une infinité de fois aussi près que l’on voudra de sa position initiale ". Ce qui induit une certaine stabilité pour les planètes.

• Mais ce résultat n’est que partiel car il ne s’applique qu’au problème restreint des 3 corps ; le corps troublé étant de masse négligeable.

Conclusion :

• En conclusion, on peut dire que :

• Le caractère chaotique du système solaire nous empêche de prévoir le futur de manière précise au-delà de 100 millions d’années.

• A titre d’exemple, on ne peut pas à l’heure actuelle préciser quelles ont pu être les variations maximales de l’excentricité de la terre au cours de son histoire.

• Or ceci représente un grand intérêt dans l’étude des paléoclimats.

• On pourra sûrement répondre à cette question dans le futur, mais cela demandera encore beaucoup d’années de recherches.