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\begin{document}

\title{Analyse canonique généralisée} 
\author{Jacques Bailhache (jacques.bailhache@gmail.com)}

\maketitle

\setlength{\parindent}{0pt}

\section{Présentation}

L'analyse canonique généralisée est une méthode d'analyse de tableaux de données de n lignes (individus) et p colonnes (variables) groupées en q groupes, que l'on peut écrire sous la forme :

\[ X = (X_1, X_2, \ldots, X_k, \ldots, X_q) \]

Si q = 2, on retrouve l'analyse canonique classique.

Si chaque bloc $X_k$ est un tableau disjonctif complet, on retrouve l'analyse des correspondances multiples.

Si chaque bloc n'est formé que d'une seule colonne, on retrouve l'analyse en composantes principales.

\section{Formulation mathématique}

Il s'agit de maximiser \( \sum_{k=1}^q \ ^ty X_k (^tX_k X_k)^{-1} \ ^tX_k y \) avec la contrainte \( ^ty y = 1 \).

Le vecteur y est le vecteur propre correspondant à la plus grande valeur propre de la matrice :

\[ S = \sum_{k=1}^q X_k (^tX_k X_k)^{-1} \ ^tX_k \]


\section{Cas q = 2 : Analyse canonique classique}

Pour q = 2, on a : 

\[ X_1 (^tX_1 X_1)^{-1} \ ^tX_1 y + X_2 (^tX_2 X_2)^{-1} \ ^tX_2 y = \lambda y \]

Posons \( (^tX_1 X_1)^{-1} \ ^tX_1 y = a \) et \( (^tX_2 X_2)^{-1} \ ^tX_2 y = b \).

On a alors 

\[ X_1 a + X_2 b = \lambda y \]

En multipliant à gauche par \( (^tX_1 X_1)^{-1} \ ^tX_1 \), on obtient :

\[ (^tX_1 X_1)^{-1} \ ^tX_1 X_2 b = (\lambda - 1) a \]

De même, on a aussi

\[ (^tX_2 X_2)^{-1} \ ^tX_2 X_1 a = (\lambda - 1) b \]

et par substitution 

\[ (^tX_2 X_2)^{-1} \ ^tX_2 X_1 (^tX_1 X_1)^{-1} \ ^tX_1 X_2 b = (\lambda - 1)^2 b \]

On retrouve la matrice à diagonaliser de l'analyse canonique classique.


\section{Cas où chaque bloc comprend une seule colonne : Analyse en composantes principales}

Dans ce cas on a :

\[ S = \sum_{k=1}^q x_k (^tx_k x_k)^{-1} \ ^tx_k = \sum_{k=1}^q \frac{1}{n s_k^2} x_k \ ^tx_k \]

avec

\[ s_k^2 = \frac{1}{n} \ ^tx_k x_k \]

Soit la matrice T dont la k-ième colonne vaut \( t_k = \frac{1}{s_k} x_k \). 

Alors on a \( S = \frac{1}{n} T \ ^tT \).

La relation \( S y = \lambda y \) s'écrit alors : 

\[ \frac{1}{n} T ^tT y = \lambda y \]

En multipliant à gauche par \( ^tT \) on obtient :

\[ \frac{1}{n} \ ^tT T ^tT y = \lambda ^tT y \]

 
et en posant \( ^tT y = u\) :

\[ \frac{1}{n} \ ^tT T u = \lambda u \]

ou

\[ C u = \lambda u \]


\section{Référence}

Statistique exploratoire multidimensionnelle, éditions DUNOD, 8.3.5 Analyse canonique généralisée

\end{document}
