\documentclass[10pt]{article}
\title{Transfinite ordinals}

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\begin{document}

\title{Les multiplicateurs de Lagrange}
\author{Jacques Bailhache (jacques.bailhache@gmail.com)}

\maketitle

\setlength{\parindent}{0pt}

\section{Exemple dans un espace de dimension 2}

Soit une fonction \( h : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \).

L'équation h(x)=0 définit une courbe dans \( \mathbb{R}^2 \).

Soit une autre fonction \( f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \).

On cherche le point x de la courbe h(x)=0 qui minimise f, autrement dit x tel que :

\begin{itemize}
     \setlength{\itemsep}{1pt}
     \setlength{\parskip}{0pt}
     \setlength{\parsep}{0pt}
\item h(x)=0
\item f(x) est minimal
\end{itemize}

\includegraphics[width=12cm]{ml1.jpg}

On voit que x est le point où la courbe h(x)=0 est tangente à une courbe de niveau de f. Le gradient de f en ce point est perpendiculaire à la courbe h(x)=0. Le gradient de h étant également perpendiculaire à la courbe h(x)=0, les gradients de f et h sont alignés ou proportionnels, ce que l'on peut écrire sous la forme :

\[ \nabla f(x) + \lambda \nabla h(x) = 0 \]

\section{Exemple dans un espace de dimension 3}

Soit deux fonction \( h_1 \) et \( h_2 : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \).

L'équation \( h_1(x)=0 \) définit une surface. L'équation \( h_2(x)=0 \) définit une autre surface. La courbe C intersection de ces deux surfaces satisfait le système d'équations 
\begin{itemize}
     \setlength{\itemsep}{1pt}
     \setlength{\parskip}{0pt}
     \setlength{\parsep}{0pt}
\item \( h_1(x)=0 \)
\item \( h_2(x)=0 \)
\end{itemize}

On cherche le point x de cette courbe qui minimise une certaine fonction \( f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \), autrement dit x tel que :

\begin{itemize}
     \setlength{\itemsep}{1pt}
     \setlength{\parskip}{0pt}
     \setlength{\parsep}{0pt}
\item \( h_1(x) = 0 \)
\item \( h_2(x) = 0 \)
\item f(x) est minimal
\end{itemize}

\includegraphics[width=12cm]{ml2.jpg}

Le point x est le point où la courbe C est tangente à une surface où f a la même valeur. On a :

\[ \nabla f(x) + \lambda_1 \nabla h_1(x) + \lambda_2 \nabla h_2(x) = 0 \]

\section{Cas général}

Dans \( \mathbb{R}^n \), on considère p+1 fonctions \( h_1, ..., h_p, f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \).  

On cherche x tel que

\begin{itemize}
     \setlength{\itemsep}{1pt}
     \setlength{\parskip}{0pt}
     \setlength{\parsep}{0pt}
\item \( h_1(x) = 0 \)
\item \( \ldots \)
\item \( h_p(x) = 0 \)
\item f(x) est minimal
\end{itemize}

Ce point x vérifie :

\[ \nabla f(x) + \lambda_1 \nabla h_1(x) + \ldots + \lambda_p \nabla h_p(x) = 0 \]

On définit le lagrangien L par : 

\[ L(x,\lambda) = f(x) + \lambda_1 h_1(x) + \ldots + \lambda_p h_p(x) \]

On a alors : 

\[ \nabla L(x,\lambda) = \frac{\partial L(x,\lambda)}{\partial x_i} = \nabla f(x) + \lambda_1 \nabla h_1(x) + \ldots + \lambda_p h_p(x) \]

La condition \( \nabla f(x) + \lambda_1 \nabla h_1(x) + \ldots + \lambda_p \nabla h_p(x) = 0 \) peut donc s'écrire :

\[ \nabla L(x,\lambda) = 0 \]

ou

\[ \frac{\partial L(x,\lambda)}{\partial x_i} = 0 \]

On peut également réécrire la condition \( h_j(x) = 0 \) sous la forme :

\[ \frac{\partial L(x,\lambda)}{\partial \lambda_j} = 0 \]



\end{document}
