a,b
et c sont premiers entre eux deux à deux
Si dans N* nous avons an + bn = cn
En utilisant le type de notation que nous avons défini dans
²
l’étude des relations entre 2 nombres ² , nous pouvons écrire :a = E . F . e . G
avec E . F = PGCD de a et de b
b = E . F . f . H
an + bn
= En . Fn . en . Gn + En . Fn . fn . Hn=
En . Fn .[ en . Gn + fn . Hn ] = cn
En divisant a, b et c par leur PGCD E . F,
l’étude se ramène à : e n . G n + f n . H n = L n
de la forme a’ n + b’ n = c’ n
où a’ premier avec b’
Si dans N* nous avons a n + b n = c n
- L’étude se réduit à : a et b premiers avec c
Si dans N* nous avons a n + b n = c n alors c ³ a et c
³ b
on peut alors poser par exemple, c = b + d soit a n + b n = ( b + d ) n
- L’étude se réduit à : b premier avec d
En utilisant le type de notation que nous avons défini, comparons b et d b = P . Q . p . R
avec P . Q = PGCD de b et de d
d = P . Q . q . S
On aura donc : a n + ( P.Q.p.R ) n = =
an = P n.Q n. ( p.R + q.S ) n - P n.Q n. p n.R n
an = P n.Q n. [ ( p.R + q.S ) n - p n.R n ]
(V)n = ( p.R + q.S ) n - p n.R n
Þ
(V)n + p n.R n = ( p.R + q.S ) nde la forme a’ n + b’ n = ( b’ + d’ ) n
où b’ premier avec d’
Comme b est premier avec d,
si c était multiple de b,
on aurait : b = W.Z
soit d = W.( X - Z )
or, b est premier avec d,
donc W = 1
d’où b est premier avec c
et par symétrie a est premier avec c
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