Cette page aborde différentes méthodes pour calculer algébriquement le fameux nombre PI. Il s'agit uniquement de la présentation de ces méthodes, et non d'une tentative visant à battre le record du monde de décimales trouvées (celui-ci requiert en effet des calculateurs vachement puissants. Il y a déjà plus de 50 milliards de décimales connues. Ainsi, si c'était ce que vous étiez venu chercher, passez votre chemin).
La méthode la plus répandue, et la plus inexacte, est celle des vingt-deux septièmes.
Elle donne le résultat suivant:
| 22 | (22 > 3 x 7 = 21) | PI = 3 | ||||
| 22 - 21 | = | 1 | (10 > 1 x 7 = 7) | PI = 3.1 | ||
| 10 - 7 | = | 3 | (30 > 4 x 7 = 28) | PI = 3.14 | ||
| 30 - 28 | = | 2 | (20 > 2 x 7 = 14) | PI = 3.142 | ||
| 20 - 14 | = | 6 | (60 > 8 x 7 = 56) | PI = 3.1428 | ||
| 60 - 56 | = | 4 | (40 > 5 x 7 = 35) | PI = 3.14285 | ||
| 40 - 35 | = | 5 | (50 > 7 x 7 = 49) | PI = 3.142857 | ||
| 50 - 49 | = | 1 | (10 > 1 x 7 = 7) | PI = 3.1428571 |
On remarque que l'on trouve un reste égal à 1, tout comme à la deuxième ligne. Cela signifie que les calculs vont reprendre indéfiniment en boucle. La séquence de résultats "142857" s'appelle une période, et le résultat de notre calcul s'appellera donc un nombre périodique.
La division 22/7 donne donc: 3.142857142857142857 (lu de haut en bas dans la 3e colonne en partant de la droite), qui est un élément de l'ensemble Q (nombres rationnels). Au sens le plus strict, tous les éléments de Q (qui sont définis comme de type a / b, avec a élément de Z et b élément de N \ {0}) sont périodiques et leur période n'excède pas b - 1.
Cependant, il a été prouvé depuis belle lurette que PI n'est pas un nombre rationnel, mais irrationnel (au sens strict). En outre, il s'agit d'un nombre transcendant et d'un nombre-univers (les nombres-univers sont des nombres tels que n'importe quelle séquence de chiffres se retrouvent dans leurs décimales à un moment où un autre. C'est le cas de plusieurs nombres avec une infinité de décimales, mais pas de tous).
Ainsi, toute méthode visant à définir PI comme un quotient (ou un produit) de deux nombres finis donnera une réponse erronée, aussi précise semble-t-elle.
Il a été démontré il y a très longtemps (vers 250 av. J-C) qu'on pouvait cerner PI entre deux bornes.
Soit i un nombre binaire (valant 0 ou 1). En fonction des deux valeurs possibles que i peut prendre, on calcule (220 + i) / (70 + i), et on sait que ce sont les deux bornes qui délimitent PI
En pratique, ces deux nombres sont:
| Borne supérieure | (i = 0) | 220 / 70 | = | 3.1428571 | |
| Borne inférieure | (i = 1) | 221 / 71 | = | 3.1126761 |
On remarque immédiatement que le nombre obtenu par la première méthode n'est autre que la borne supérieure. La méthode des vingt-deux septièmes nous avait donc fourni une surestimation de la vraie valeur de PI.
Une autre méthode pour approximer PI est de définir une suite infinie de nombres. En effet, étant donné que le nombre de décimales est infini, il est évident que PI ne peut pas être la somme d'éléments d'une suite finie.
Il s'agit de calculer tous les inverses des nombres impairs (de 1 jusqu'à l'infini) et de les affubler alternativement du signe + et du signe -. Ainsi, 1/1 sera positif, 1/3 sera négatif, 1/5 positif, 1/7 négatif, etc.
En effectuant la somme de ces résultats, on obtient le quart de la valeur de PI.
L'équation est: PI = 4 x (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 ...)
Graphiquement, il s'agit d'un mouvement oscillatoire autour de la vraie valeur. Ainsi, à chaque étape, on définit une nouvelle borne, alternativement supérieure et inférieure, et l'intervalle se resserre à de plus en plus (autrement dit, la borne supérieure diminue et la borne inférieure augmente).
On remarque également qu'au fur et à mesure des itérations, l'estimation s'affine. On part du nombre 4, puis on enlève une quantité plus petite (1/3), puis on rajoute une quantité plus petite que celle qu'on avait enlevée (1/5), puis on enlève une autre quantité encore plus petite (1/7), etc.
Cette approximation tend-elle vers la valeur correcte de PI ? Oui et non car après environ 2000 itérations (c.à.d. quand le nombre au dénomiateur est 4000), les deux bornes sont 3.14109265362 et 3.14209240368. La valeur intermédiaire est donc 3.14159252865 et la différence absolue avec PI se situe aux alentours de 0.00000012494 (différence relative: 0.00000398 %. Par conséquent, cette méthode convient relativement bien pour donner une approximation de PI mais il faudra plusieurs milliers d'itérations avant d'atteindre un chiffre acceptable (sans oublier le problème de la perte de précision de la plupart des calculateurs au-delà d'un certain seuil).
Il s'agit de calculer tous les inverses des carrés des nombres naturels, à l'exclusion du 0 par lequel on ne peut pas diviser (la suite va donc de 1 jusqu'à l'infini).
En effectuant la somme de ces résultats, on obtient le sixième de la valeur de PI.
L'équation est: PI = 6 x (1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + 1/7² ...)
Graphiquement, il s'agit d'un mouvement convergent. Chaque étape sous-estime la véritable valeur de PI et l'étape suivante consiste toujours à ajouter une valeur de plus en plus petite afin de se rapprocher de cette valeur.
Qu'en est-il de la convergence vers la vraie valeur ? En fait, après 4000 itérations, l'estimation donne 3.14135394194506, qui est inférieur à PI. Le problème ressemble fort à celui d'Alexandre et de la tortue, mais la valeur limite de cette série reste inférieure à celle de PI.
Voici la méthode la plus récente (1995). Il s'agit à nouveau d'une suite infinie, en ce sens qu'elle se base sur une approximation de PI par étapes successives.
Sa formule est compliquée. Elle se présente comme suit:
![SUM[n=0;infinite] (1/16^n) [ 4/(8n+1) - 2/(8n+4) - 1/(8n + 5) - 1/(8n + 6) ]](pictures/pi3.png){kind=small}
.
On s'approche donc de la valeur supposée de PI par additions successives. Au plus n augmente, au plus le terme de l'équation diminue, donc la progression sera de type semi-logarithmique.
Voici l'estimation en fonction des différentes valeurs de n.
Il est flagrant de constater qu'après seulement 3 ou 4 itérations, on obtient une assez bonne approximation de PI. Pour n = 9, on atteint un résultat avec 15 chiffres corrects derrière la virgule.
La présence d'une exponentielle au dénominateur a pour conséquence que éléments de la somme deviennent très rapidement très petits (beaucoup de 0 derrière la virgule avant d'atteindre le premier chiffre significatif). La précision et la fiabilité du logiciel qui devra estimer PI par cette méthode revêt alors une importance primordiale.
Cette méthode est due à Gauss (1777–1855). Elle se base sur la trigonométrie élémentaire (dans un cercle de rayon 2 PI). La tangente de PI vaut 0 (de même que la tangente de 0). Demander l'arctangente de 0 ne donnera donc pas de réponse satisfaisante).
Gauss propose d'additioner les arctangentes de 1/2, 1/5 et 1/8, et on obtient le quart de la valeur de PI.
L'équation est: PI = 4 x [arctg(1/2) + arctg(1/5) + arctg(1/8)]
La méthode est en effet assez efficace car elle utilise peu de calculs (donc un risque faible de perte de précision) et un résultat très proche de l'original. Les 14 premières décimales sont en effet correctes.
Il faut cependant être prudent avec les logiciels utilisés. En effet, la grande majorité d'entre eux repère les valeurs de l'arctangente dans une table, celle-ci ayant été créée à partir de l'estimation du nombre PI (en s'arrêtant au nombre de chiffres significatifs maximum utilisé par le logiciel). Ainsi, il est fréquent que le chiffre obtenu par cette méthode soit exactement égal au nombre PI fourni par l'ordinateur. Il n'en est rien: la méthode de Gauss ne fournit qu'une approximation de PI, mais pas sa vraie valeur.
Pour s'en convaincre, sachez qu'à 15 chiffres significatifs (double float), la plupart des logiciels donnent la valeur 3.141592653589790000000 (avec une infinité de 0), qui ne représente pas la vraie valeur de PI.
Il est possible de mémoriser les premières décimales de PI à l'aide d'une petite phrase ou d'un poème. Les décimales successives de PI seront tout simplement le nombre de lettres de chaque mot du poème. Pour cela, il conviendra de n'utiliser que des mots de 1 à 9 lettres.
Un problème pourrait surgir lorsqu'une décimale de PI vaut 0. Pour cela, on pourrait utiliser un mot de 10 lettres.
Les décimales générées par le poème sont toujours correctes (car le poème peut se baser sur des décimales calculées avec certitude, plutôt que d'estimer lui-même une valeur). Le seul problème réside dans l'impossibilité de trouver plusieurs dizaines de décimales car l'élaboration du poème et sa mémorisation deviennent alors un véritable casse-tête.
Le poème le plus connu est:
Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux sages,
Immortel Archimède, artiste, ingénieur
qui, de ton jugement, peut sonder la valeur.
Le nombre obtenu est 3.1415926535897932384626 (22 décimales).
May I have a large container of coffee?
Ce poème nous donne 3.1415926 (7 décimales).
How I want a drink, alcoholic of course,
after the heavy lectures
involving quantum mechanics!
On obtient 3.14159265358979 (14 décimales).
Il s'agit de partir de la définition du nombre PI, à savoir le ratio entre le périmètre d'un cercle et son diamètre (si le cercle s'agrandit, le périmètre P s'accroît en effet proportionnellement au diamètre D, soit PI = dP/dD).
En intégrant ce résultat, ou en repartant de la propriété énoncée au départ (PI étant une constante, on peut se débarrasser des dérivées), on définit PI comme P/D. Le choix de ces deux initiales n'est d'ailleurs pas innocent, quand on sait que cette méthode nous vient de Grèce.
Il s'agit donc de dessiner un cercle sur une feuille de papier, de mesurer son périmètre (à l'aide d'une corde), de mesurer son diamètre (à l'aide de tout objet gradué), puis de mesurer la corde et de diviser les deux. En mesurant de manière très précise (veillez à dessiner un cercle très grand) et en reprenant plusieurs fois les mesures, il doit y avoir moyen d'y arriver. Enfin, comme d'habitude, les mathématiciens savent qu'en tout cas c'est possible, et cela suffit amplement à leur bonheur. L'application de l'exercice est laissée aux ingénieurs si ça les amuse, mais c'est alors hors-contexte.
02-01-12 19:46