Algorithme de Maurice Kraitchik

13 ! MÉTHODES DE CALCUL DU JOUR DE SEMAINE
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Calendrier grégorien perpétuel

Algorithme de Maurice Kraitchik (1882–1957)
Notation
Notation mathématique, sous forme d'opérateurs div et mod :
    n div p = nombre de fois que p divise n (diviseur entier)
    n mod p = le reste de la division de n par p
Exemples :
    13 div 5 = 2, 13 mod 5 = 3     car 13 = 5x2 + 3
    20 div 4 = 5, 20 mod 5 = 0     car 20 = 5x4 + 0

a   l'année, ie. 2004.
m    le rang du mois de l'année; sauf pour janvier et février qui sont considérés respectivement comme les 13^e et 14^e mois de l'année précédente.
q   le quantième du mois (1 à 31).
j   le rang du jour de la semaine, avec par convention 0=Sam., 1=Dim., 2=Lun., ..., 6=Ven.

Rang de chacun des mois de l'année: m
Mois M	Jan	Fév	Mars	Avr	Mai	Juin	Juil	Août	Sep	Oct	Nov	Déc
Rang N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
m	13^*	14^*	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

^* NOTE IMPORTANTE: pour ces 2 mois, utiliser l'année précédente a -1,
donc a^* = a - 1 et non a

Rang du jour de la semaine : j
Jour	Dimanche	Lundi	Mardi	Mercredi	Jeudi	Vendredi	Samedi
j	1	2	3	4	5	6	0

Algorithme 1 - sans tableaux

j = {q + 2m + [3(m + 1)/5] + a + [a/4] - [a/100] + [a/400] + 2} mod 7

où [ ] désigne la partie entière d'une division; [ ] équivalent à l'opérateur div.

Exemples

Quels jours de la semaine tombaient les 18 janvier 1953, 6 juillet 1990 et 11 avril 2004?

18 janvier 1953
q = 18   m = 13   a^* = 1952
j = {18 + 2x13 + [3(13 + 1)/5] + 1952 + [1952/4] - [1952/100] + [1952/400] + 2} mod 7
j = {18 + 26 + [42/5] + 1952 + 488 - 19 + 4 + 2} mod 7
j = (18 + 26 + 8 + 1952 + 488 - 19 + 4 + 2) mod 7
j = 2479 mod 7 = 1    car 2479 = 7 x 354 + 1 = 2478 + 1
j = Dimanche = 18 janvier 1953

6 juillet 1990
q = 6   m = 7   a = 1990
j = {6 + 2x7 + [3(7 + 1)/5] + 1990 + [1990/4] - [1990/100] + [1990/400] + 2} mod 7
j = {6 + 14 + [24/5] + 1990 + 497 - 19 + 4 + 2} mod 7
j = (6 + 14 + 4 + 1990 + 497 - 19 + 4 + 2) mod 7
j = 2498 mod 7 = 6    car 2498 = 7 x 356 + 6 = 2492 + 6
j = Vendredi = 6 juillet 1990

11 avril 2004
q = 11   m = 4   a = 2004
j = {11 + 2x4 + [3(4 + 1)/5] + 2004 + [2004/4] - [2004/100] + [2004/400] + 2} mod 7
j = {11 + 8 + [15/5] + 2004 + 501 - 20 + 5 + 2} mod 7
j = (11 + 8 + 3 + 2004 + 501 - 20 + 5 + 2) mod 7
j = 2514 mod 7 = 1    car 2514 = 7 x 359 + 1 = 2513 + 1
j = Dimanche = 11 avril 2004; jour de Pâques.

Algorithme 2 - avec aide de tableaux

W = (D + M + C + Y) mod 7   avec:

C   le code du siècle selon Table 1.
Y   le code de l'année selon Table 2.
M    le code du mois de l'année selon Table 3.
D   le quantième du mois (1 à 31).
W   le rang du jour de la semaine, avec par convention comme ci-dessus W = 0=Sam., 1=Dim., 2=Lun., ..., 6=Ven.

Les 3 tables ci-dessous indiquent les codes assignés aux siècles, aux années et aux mois (Kraitchik 1942, pp. 110-111).

TABLE 1 - Code C des siècles

Calendrier Grégorien
Siècle (deux premiers chiffres)	C
15, 19, 23, 27, ...	1
16, 20, 24, 28, ...	0
17, 21, 25, 29, ...	5
18, 22, 26, 30, ...	3

Calendrier Julien
Siècle (deux premiers chiffres)	C
00, 07, 14	5
01, 08, 15	4
02, 09, 16	3
03, 10, 17	2
04, 11, 18	1
05, 12, 19	0
06, 13, 20	6

TABLE 2 - Code Y des années
ANNÉES (deux derniers chiffres)									Y
00	06		17	23	28	34		45	0
01	07	12	18		29	35	40	46	1
02		13	19	24	30		41	47	2
03	08	14		25	31	36	42		3
	09	15	20	26		37	43	48	4
04	10		21	27	32	38		49	5
05	11	16	22		33	39	44	50	6
51	56	62		73	79	84	90		0
	57	63	68	74		85	91	96	1
52	58		69	75	80	86		97	2
53	59	64	70		81	87	92	98	3
54		65	71	76	82		93	99	4
55	60	66		77	83	88	94		5
	61	67	72	78		89	95		6

TABLE 3 - Codes M des mois de l'année
Mois	Jan	Fév	Mars	Avr	Mai	Juin	Juil	Août	Sep	Oct	Nov	Déc
Code M	1	4	3	6	1	4	6	2	5	0	3	5

Au besoin, le lecteur pourrait vérifier ses résultats de calcul du jour de la semaine au moyen de notre Calendrier pratique, du Calendrier permanent ou du Calendrier perpétuel à 12 mois.

Références :

Formule de Kraitchik, par Charles-É. Jean, 2004.
Maurice Kraitchik (1882-1957), La mathématique des jeux ou Récréations mathématiques, Paris: Vuibert, 1930, 566 pages.
Maurice Kraitchik (1882-1957), "The Calendar", Chap. 5 in Mathematical Recreations. New York: W. W. Norton, pp. 109-116, 1942.
Maurice Kraitchik (1882-1957), Mathematical recreations, London: George Allen & Unwill Ltd, 1955 and New York: Dover, 1953.
Weekday, par Eric W. Weisstein, 1999.

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